Sismomètre vertical
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Un sismomètre vertical est un sismomètre sensible aux mouvements verticaux du sol. Certains sont construits sur le principe du peson qui sera étudié par la suite et d'autres sur le principe du pendule.
On présente ci-dessous les équations reliant le mouvement du sol et le mouvement enregistré par un peson.
On considère une masse m, suspendue à un ressort de masse négligeable, de constante de raideur k et de longueur à vide l0. Le dispositif comporte également un système d'amortissement visqueux de constante λ. Le déplacement du sol est noté zsol et le mouvement relatif entre la masse et le support est noté z. Le ressort a un allongement l à l'équilibre.
Équation de l'oscillateur libre amorti
Intéressons-nous à la période d'oscillation de la masse. Pour cela, il faut établir l'équation de mouvement de la masse en commençant par déterminer le bilan des forces s'exerçant sur la masse:
- le poids :
- la force d'amortissement :
- la tension du ressort :
On se place dans un référentiel lié au sol. L'accélération de la masse est donc composée de deux termes:
, qui correspond à l'accélération de la masse par rapport au bâti,
, qui correspond à l'accélération du bâti par rapport au sol.
Par conséquent, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
Or, à l'équilibre, on a :
ce qui donne :
Après simplification, l'équation devient :
De cette relation, on pose en général :
D'où :
Solutions de l'équation en régime forcé
Si on suppose maintenant que le bâti du sismomètre est soumis à un mouvement du sol oscillant de forme sinusoïdale:
on atteint alors un régime permanent forcé. La réponse du sismomètre est de la même forme que l'excitation : la pulsation ω est identique, mais il apparaît un déphasage φ et l'amplitude change également. La forme de la réponse est donc la suivante :
Il s'agit alors de déterminer B et φ afin de connaître au mieux la réponse du sismomètre.
Avec des formules en sinus, il est plus aisé de travailler en complexes :
- à zsol on associe la quantité complexe :
- à z on associe la quantité complexe :
En remplaçant ces deux quantités dans l'équation du mouvement, on obtient :
D'où, en simplifiant par 
:
On a donc :
On cherche B qui est le module de la relation précédente :
Et la phase φ est définie telle que :
D'où :
Il peut être intéressant de connaître les variations de l'amplitude B en fonction de la pulsation ω, afin de pouvoir, par la suite avoir accès à l'amplitude A du signal d'origine. Pour cela, étudions la dérivée de B par rapport à α :
Quand :
on obtient :
c'est-à-dire :
On la note en fait en général :
Il s'agit de la pulsation propre de l'oscillateur.
L'amplitude B
Dans la première partie, on avait déjà fixé ω0 pour arriver à la forme finale de l'équation de mouvement. Ce n'était pas par hasard, puisque la pulsation propre est une quantité qui apparaît naturellement dans l'étude d'un oscillateur.
L'amplitude possède donc un maximum en ω0. Ce maximum correspond à la fréquence de résonance du système. L'amplitude maximale a ainsi pour valeur :
Et les limites de la fonction d'amplitude sont définies par :
- quand ω → 0, B → 0,
- quand ω → +∞, B → A, qui est l'amplitude du signal d'origine.
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(Vorlesungen über Seismometrie, B. Galitzin) | "Petit" Wiechert verticalCe sismomètre vertical de 80kg a été construit d'après le principe du pendule. |
