Sismomètres longue période
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Le ressort de longueur nulle
Pour un ressort quelconque, de longueur effective l et de longueur à vide l0, la force de tension T est proportionnelle à l-l0 selon la loi :
Lorsque l'on applique en revanche une force aux ressort dit « de longueur nulle », la force de tension est directement proportionnelle à la longueur effective l, en vertu de la loi :
Cette particularité simplifie considérablement les équations du sismomètre, c'est pour cela que ce système est très utilisé en sismologie.
Le ressort de longueur nulle est fabriqué en appliquant une torsion au fil de manière à rendre les spires jointives (le ressort ne peut évidemment pas être contracté jusqu'à avoir une vraie longueur nulle). Il possède donc une tension résiduelle qu'il faut dépasser pour provoquer son allongement : il existe donc des forces non mesurables.
Un sismomètre vertical « longue période »
On considère une masse m reliée à un support vertical par une tige rigide de longueur R et par un ressort de longueur nulle et de constante k. On note r la distance entre les points d'ancrage de la tige et du ressort, et l la longueur du ressort.
La tige rigide tourne autour d'un axe de rotation horizontal repéré par un petit cercle sur la figure ci-dessous. Le mouvement de la masse est mesuré par l'angle β entre le support et la tige. L'angle entre la tige et le ressort est appelé α.
Le bilan des forces s'exerçant sur la masse est le suivant :
- le poids :
- la tension du ressort :
On projette ces forces sur la tangente à la trajectoire :
Le bilan des forces devient :
À l'équilibre, cela donne :
ou encore :
D'après la relation des sinus dans un triangle, on a aussi la relation suivante :
L'équation précédente devient :
Dans cette relation n'interviennent que des constantes. L'angle β n'apparaît plus dans l'équation, donc la position d'équilibre ne dépend pas de β. Chaque valeur correspond à une position d'équilibre : il s'agit d'un équilibre indifférent. Si on bouge la masse, elle passe d'une position d'équilibre à une autre, ce qui signifie que l'on a théoriquement construit un sismomètre de période infinie.
Le ressort de longueur nulle permet donc, en plus d'une simplification dans les calculs (la longueur à vide du ressort disparaît), de construire des appareils ayant une période infinie. En revanche, si la longueur du ressort est petite mais non nulle, alors la période de l'appareil n'est plus infinie mais longue. En modifiant légèrement le système précédent, il est possible de construire des sismomètres verticaux de période non plus infinie, mais longue.
Système ancré sur une autre tige
On utilise donc un dispositif similaire mais ici, le système masse-ressort-tige est ancré sur une autre tige qui s'écarte de la verticale d'un angle δ.
Le bilan des forces s'exerçant sur la masse est le suivant :
- le poids :
- la tension du ressort :
On projette ces forces sur la tangente à la trajectoire :
ou encore :
(1)
Soient β0 et α0 les angles et l0 la longueur du ressort dans la position d'équilibre de la masse. On a alors:
D'après la relation des sinus dans un triangle, on a aussi :
La relation précédente devient :
ou encore :
(2)
De plus, d'après la relation des sinus, on a à tout instant :
En remplaçant kr à partir de la relation (2) dans la relation (1), l'équation du mouvement donne :
Soit encore :
En sismologie on s'intéresse à de petits mouvements du sol, donc β0 ≈ β. Au premier ordre, on a donc sin(β0 - β) ≈ β0 - β. L'équation s'écrit alors :
On introduit la pulsation propre ω0 de l'appareil en posant :
Alors la période propre de l'oscillateur s'exprime par :
Il est ainsi possible de construire des appareils de très longue période, pourvu que l'on choisisse δ suffisamment petit.
Remarques
Dans cet exemple, nous avons négligé toutes les forces de frottements pouvant agir sur la masse, notamment au niveau de l'axe de rotation. Par ailleurs, pour construire un sismomètre performant, il faudrait ajouter au dispositif un système d'amortissement, dont on n'a ici pas tenu compte dans les calculs. Le deuxième dispositif se ramène facilement au premier. Il suffit de poser δ = 0 dans les équations et on retrouve les relations établies dans le premier exemple. Les appareils construits sur ce principe ont généralement des périodes propres allant de 15 à 30s, et la plus longue période propre obtenue avec ce système est de 80s.
En comparaison, la période du peson, autre principe de sismomètre vertical, a pour valeur :
Il est donc moins aisé d'obtenir une longue période avec ce sismomètre, sauf en utilisant simultanément une masse importante et un ressort peu raide, deux conditions difficilement compatibles.
 | Sismomètre vertical LPZA-12SIl est construit par le Laboratoire de Géophysique. Le ressort utilisé pour sa fabrication est de longueur nulle. |